華圖公務(wù)員考試研究中心的專家分析指出，近些年來，與等差數(shù)列求和問題相關(guān)的極值型問題已經(jīng)成為國家公務(wù)員考試數(shù)量關(guān)系部分的一類熱點問題。對于這類問題，各位考生在平時的復(fù)習(xí)過程中應(yīng)加以重視，深刻理解和掌握以便實現(xiàn)在考場上的快速解題。
首先，通過一道例題來了解一下這類問題。
【例1】（2005年國家二卷）現(xiàn)有21朵鮮花分給5人，若每個人分得的鮮花數(shù)各不相同，則分得鮮花最多的人至少分得（ ）朵鮮花。
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】A。此類題型有個特點，即往往出現(xiàn)至多或至少等字眼，且每個人擁有屬性的量（此題為鮮花數(shù)目）各不相同且為整數(shù)。對于此題，要使分得鮮花最多的人分得的花盡量少，那么其他人分得的鮮花數(shù)量應(yīng)盡可能地多。而其他人分得的鮮花數(shù)比此人要少，且各不相同，理想的情況是這些人分得的鮮花數(shù)構(gòu)成一個公差為1的等差數(shù)列，若有剩余，則多出的部分再作單獨考慮。
對于總項數(shù)為奇數(shù)的整數(shù)等差數(shù)列，其平均數(shù)為中間項。由于21除以5商4余1，那么這五個數(shù)就依次為2,3,4,5,6，多余的一個應(yīng)分給最大的數(shù)，即5人分得的鮮花數(shù)從小到大為2,3,4,5,7，因為若把多余的一加到其他數(shù)上，則會出現(xiàn)重復(fù)的數(shù)，與題意相矛盾。因此選擇A選項。
【例2】（2006年國家二卷）5人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數(shù)，并且各不相同，則體重量最輕的人，最重可能重（ ）
A.80斤 B.82斤 C.84斤 D.86斤
【解析】B。此題是求體重最輕的人可能的最重體重。要使體重最輕的人體重盡可能大，那么其他人的體重應(yīng)盡可能輕，且各不相同，同樣的道理只能構(gòu)成一個公差為1的等差數(shù)列。由于423除以5商為84余3，故這五個數(shù)應(yīng)分別為82,83,84,85,86，剩余的3可以全部加到86上變成82,83,84,85,89，也可以變成82,83,84,86,88或82,83,85,86,87，其最輕的值保持不變，因此答案選B。
【例3】（2009年國家卷）100人參加7項活動，已知每個人只參加一項活動，而且每項活動參加的人數(shù)都不一樣。那么，參加人數(shù)第四多的活動最多有幾人參加（ ）
A.21 B.22 C.23 D.24
【解析】A。此題稍微有些變化，變成第四多的活動最多有幾人參加。要使第四多的活動人數(shù)最多，那么第5~7多的活動應(yīng)參加的人數(shù)盡可能小，分別為3,2,1。而第1~3多的活動應(yīng)盡可能的小，故組成一個公差為1的四項等差數(shù)列。100-3-2-1=94,由于是四項的等差數(shù)列，其平均值應(yīng)為中間的相鄰兩項的平均數(shù)，即為一個多少點五的數(shù)。而94/4=23.5，正好符合，故這四項分別為22,23,24,25，因此選擇B選項。
【例4】（2010年國家卷）某機關(guān)20人參加百分制的普法考試，及格線為60分，20人的平均成績?yōu)?8分，及格率為95％。所有人得分均為整數(shù)，且彼此得分不同。問成績排名第十的人最低考了多少分？（ ）
A.88 B.89 C.90 D.91
【解析】B。20人的平均分為88分，因此這20人的總分為88×20=1760。根據(jù)及格率為95%可計算出及格人數(shù)為19人，即1人不及格。現(xiàn)要使第十名的分?jǐn)?shù)盡可能的低，那么其他人的分?jǐn)?shù)應(yīng)盡可能高。不及格的最高為59分，第1~9名分?jǐn)?shù)最高為100~92，第10名應(yīng)和第11~19名的分?jǐn)?shù)組成一個公差為1的等差數(shù)列。此等差數(shù)列的和為1760-59-（100+92）×9/2=837，同理十項等差數(shù)列的平均數(shù)應(yīng)為多少點五的數(shù)，而837除以10結(jié)果為83.5余2，因此這十個數(shù)分別為79,80，…，87,88，剩余的2分配給87和88兩個數(shù)，故第十名最低考了89分，答案選擇B。
總之，對于此類題目首先應(yīng)認(rèn)清其本質(zhì)，根據(jù)等差數(shù)列項數(shù)的奇偶性先求出其平均值，再根據(jù)題意和余數(shù)進(jìn)行分析從而實現(xiàn)此類題目的快速解題。
