巧分數(shù)字和

　　題目 將1至9九個數(shù)字寫在一條紙帶上，如下圖：

　　將它剪成三段，每段上數(shù)字聯(lián)在一起算一個數(shù)，把這三個數(shù)相加，使和能被77整除，那么中間一段的數(shù)是____。

　　這是1997年小學數(shù)學奧林匹克決賽中的一道整除的問題。將紙帶剪成三段，要剪兩刀，共有28種不同的剪法，逐一去試，分別計算出結(jié)果，再去試除，這樣做太繁瑣，不可取?？梢越Y(jié)合整除的有關知識，從這九個數(shù)字的數(shù)字和去考慮。

　　分析與解答 由于77=7×11，（7、11）=1，所以能被77整除的數(shù)，必能分別被7和11整除。

　　先考慮能被11整除。一個數(shù)若能被11整除，其奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差必能被11整除。對于這一性質(zhì)，可以得到這樣的推論：如果幾個加數(shù)的和能被11整除，那么這幾個加數(shù)所有奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差必能被11整除。

　　對于這條紙帶上的九個數(shù)字，不管怎樣剪，奇位數(shù)字和總大于偶位數(shù)字和。由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45=39+6=28+17，39-6=11×3，28-17=11，所以奇數(shù)、偶數(shù)的所有數(shù)字和分別是39和6或28和17。

　?。ㄒ唬┊斊嫖粩?shù)字之和是39，偶位數(shù)字之和是6時，因為6=1+2+3=5+1=4+2，只剪兩刀，使另外的6個或7個數(shù)字都在奇位上，這顯然是辦不到的。

　　（二）當奇位數(shù)字之和是28，偶位數(shù)字之和是17時，因為

　　???????????? （?）

　　?????????? （?）

　　?????????? （?）

　　?????????? （?）

　　?????????? （?）

　　?????????? （?）

　　?????????? （?）

　?。?）如果9、8、7、3、1在奇位上，無法使相鄰的三個數(shù)字4、5、6都在偶位上。

　　（2）如果9、8、6、3、2在奇位上，無法使相鄰的兩個數(shù)字4、5都在偶位上。

　?。?）如果9、8、6、4、1在奇位上，無法使相鄰的兩個

　?。?）如果9、8、5、4、2在奇位上，無法使相鄰的兩個數(shù)字6、7都在偶位上。

　?。?）如果9、7、6、5、1在奇位上，無法使相鄰的三個數(shù)字2、3、4都在偶位上。

　?。?）如果9、7、6、4、2在奇位上，相鄰的兩個數(shù)字6、7都在奇位上，因此必在6、7之間剪一刀，另一刀的剪法有三種：

　　第一種剪法得到的三個數(shù)的和：12+3456+789=4257，4257÷7=608……1

　　第二種剪法得到的三個數(shù)的和：1234+56+789=2079，2079÷7=297，由此可知，剪后中間一段的數(shù)是56。

　　第三種剪法得到的三個數(shù)的和：123456+7+89=123552，123552÷7=17650……2。

　?。?）如果9、7、5、4、3在奇位上，無法使相鄰的兩個數(shù)字1、2都在偶位上。