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公務(wù)員考試數(shù)資備考技巧:數(shù)量關(guān)系一點(diǎn)通之插空法

2019-08-28 14:52  |  華圖在線  |  責(zé)編:徐珂 點(diǎn)擊收藏

  數(shù)學(xué)運(yùn)算通??疾閷W(xué)生對數(shù)學(xué)基本思維和計(jì)算的掌握程度,其中“排列組合”一直都是數(shù)量關(guān)系中相對較難的一個章節(jié),要想學(xué)好排列組合,不僅要掌握排列、組合、分類、分步等基本概念,更要熟悉具體的技巧方法。今天,我們就來一起看一下其中一種比較常用的解題方法,插空法。

  什么樣的題型可以使用插空法呢?我們來看一個例子:

  【示例】把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側(cè),每側(cè)種植9棵,要求每側(cè)的柏樹數(shù)量相等且不相鄰,且道路起點(diǎn)和終點(diǎn)處兩側(cè)種植的都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法?

  A. 36

  B. 50

  C. 100

  D. 400

  【答案】C

  【解析】

  第一步,本題考查排列組合問題,屬于方法技巧類。

  第二步,利用每側(cè)柏樹“相等”可得,每側(cè)3棵柏樹,松樹有9-3=6(棵)。根據(jù)“不相鄰”用插空法,去掉起點(diǎn)和終點(diǎn),6棵松樹之間有5個空,故柏樹種植情況有=10(種)。

  第三步,根據(jù)“兩側(cè)”植樹,可得總的種植方法為10×10=100(種)。

  因此,選擇C選項(xiàng)。

  由于本題明確要求柏樹“不相鄰”,可優(yōu)先排好松樹,然后將柏樹插入松樹形成的空隙中,即可滿足題意。此題需要注意,道路的起點(diǎn)與終點(diǎn)兩側(cè)種植的都必須是松樹,故柏樹在插空時,每側(cè)只能選擇6棵松樹間的5個空,不可插到松樹的外側(cè)。

  除了上述題目,我們在今后做題過程中,遇到什么樣特征的題目可以使用插空法解題呢?通常情況下,分為以下三類:

  ①出現(xiàn)要求不相鄰、不相連、不連續(xù)等標(biāo)志詞;

  【例】某興趣組有男女生各5名,他們都準(zhǔn)備了表演節(jié)目。現(xiàn)在需要選出4名學(xué)生各自表演1個節(jié)目,這4人中既要有男生、也要有女生,且不能由男生連續(xù)表演節(jié)目。那么,不同的節(jié)目安排有多少種?

  A. 1200

  B. 2400

  C. 3000

  D. 3600

  【答案】B

  【解析】

  第一步,本題考查排列組合問題,屬于方法技巧類。

  第二步,根據(jù)不能由男生連續(xù)表演節(jié)目可采用插空法,先從男生和女生中選取所需要的人數(shù),然后安排女生表演節(jié)目,最后將男生的節(jié)目插入到女生的節(jié)目之間,需要考慮順序。有以下兩種情況:

  第三步,總安排方式為1200+1200=2400(種)。

  因此,選擇B選項(xiàng)。

  此題與示例類似,但在解題過程中需考慮分類與分步,當(dāng)選擇了1個男生時,無論如何安排都不會“連續(xù)”;當(dāng)選擇了3個男生時,無論如何安排都一定“連續(xù)”;當(dāng)2男2女時,需先安排好女生再將2個男生插到女生排列后形成的空中去,即可滿足題意,此時先安排2名女生,可形成3個空。

 ?、诔霈F(xiàn)要求至少有2個相鄰的標(biāo)志詞;

  【例】某籃球隊(duì)12個人的球衣號碼是從4到15的自然數(shù),若從中選出3個人參加三對三籃球比賽,則選出的人中至少有兩人的球衣號碼是相鄰自然數(shù)的概率為多少?

  

  【答案】C

  【解析】

  第一步,本題考查概率問題,屬于基本概率,用插空法解題。

  第二步,要求選出的人中至少有兩人相鄰的概率,則可用1減去選出的3個人均不相鄰的概率。12個人選出3人后剩9個人,可以想象為把選出的3個人插到9個人所形成的10個空中,則這三人必定均不相鄰,故三個人均不相鄰的概率。

  第三步,因此至少兩個人相鄰的概率。

  因此,選擇C選項(xiàng)。

  此題與示例類似,用插空法解題,但區(qū)別在于此題若正面求解則相對情況較多,故可反向思考用總的情況減去“不符合題意”(即3個人的號碼均“不相鄰”)的情況,此時便轉(zhuǎn)化為了插空法的題目特征,可順利進(jìn)行求解。

 ?、鄢霈F(xiàn)相鄰的2個中至少有1個有特殊要求的標(biāo)志詞。

  【例】某條道路一側(cè)共有20盞路燈。為了節(jié)約用電,計(jì)劃只打開其中的10盞。但為了不影響行路安全,要求相鄰的兩盞路燈中至少有一盞是打開的,則共有( )種開燈方案。

  A. 2 B. 6

  C. 11 D. 13

  【答案】C

  【解析】

  第一步,本題考查排列組合問題,屬于方法技巧類,用插空法解題。

  第二步,一側(cè)共20盞燈,打開其中10盞,則熄滅10盞,相鄰兩盞燈中至少有一盞是打開的,則熄滅的燈不能相鄰,將10盞熄滅的燈插到10盞打開的燈形成的11個空中,共有=11(種)開燈方案。

  因此,選擇C選項(xiàng)。

  這道題目相對較為復(fù)雜,雖然也使用到插空法,但解題的難點(diǎn)在于將已知條件轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的語言,相鄰的兩盞路燈中至少有一盞是打開的,即關(guān)閉的路燈“不相鄰”,只有理解了此題的關(guān)鍵信息才可利用插空法順利解題。

  考生可以發(fā)現(xiàn),很多插空法的題目只要能夠識別題型,或者能夠讀懂出題人的意圖,那么很多分?jǐn)?shù)都是可以拿到的。但是要想熟練掌握并在考場上靈活運(yùn)用這種方法還需要大量的題目練習(xí),考生可以在華圖在線題庫中多多練習(xí)以熟練運(yùn)用。

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