在行測(cè)考試中,容斥原理題令很多考生頭痛不已,因?yàn)槿莩庠眍}看起來(lái)復(fù)雜多變,讓考生一時(shí)找不著頭緒。但該題型還是有著非常明顯的內(nèi)在規(guī)律,只要考生能夠掌握該題型的內(nèi)在規(guī)律,看似復(fù)雜的問(wèn)題就能迎刃而解,下面筆者就該題型分兩種情況進(jìn)行剖析,相信能夠給考生帶來(lái)一定的幫助。
一、兩集合類型
1、解題技巧
題目中所涉及的事物屬于兩集合時(shí),容斥原理適用于條件與問(wèn)題都可以直接帶入公式的題目,公式如下:
A∪B=A+B-A∩B
快速解題技巧:總數(shù)=兩集合數(shù)之和+兩集合之外數(shù)-兩集合公共數(shù)
2、真題示例
【例1】現(xiàn)有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn),如果物理實(shí)驗(yàn)做正確的有40人,化學(xué)實(shí)驗(yàn)做正確的有31人,兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)的有4人,則兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有( )
【答案】C
【解析】直接代入公式為:50=31+40+4-A∩B
得A∩B=25,所以答案為B。
【例2】某服裝廠生產(chǎn)出來(lái)的一批襯衫大號(hào)和小號(hào)各占一半。其中25%是白色的,75%是藍(lán)色的。如果這批襯衫共有100件,其中大號(hào)白色襯衫有10件,小號(hào)藍(lán)色襯衫有多少件?( )
A、15 B、25 C、35 D、40
【答案】C
【解析】這是一種新題型,該種題型直接從求解出發(fā),將所求答案設(shè)為A∩B,本題設(shè)小號(hào)和藍(lán)色分別為兩個(gè)事件A和B,小號(hào)占50%,藍(lán)色占75%,直接代入公式為:100=50+75+10-A∩B,得:A∩B=35。
二、三集合類型
1、解題步驟
涉及到三個(gè)事件的集合,解題步驟分三步:①畫文氏圖;②弄清圖形中每一部分所代表的含義,按照中路(三集合公共部分)突破的原則,填充各部分的數(shù)字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)進(jìn)行求解。
2、解題技巧
三集合類型題的解題技巧主要包括一個(gè)計(jì)算公式和文氏圖。
公式:總數(shù)=各集合數(shù)之和-兩集合數(shù)之和+三集合公共數(shù)+三集合之外數(shù)
文氏圖如下:
其中各區(qū)域含義分別為:1區(qū)域代表只屬于A集合;2區(qū)域代表只屬于A和B;3區(qū)域代表只屬于B集合;4區(qū)域代表只屬于B和C;5區(qū)域代表三集合公共部分;6區(qū)域代表只屬于A和C;7區(qū)域代表只屬于C集合;2+5區(qū)域代表A∩B; 4+5區(qū)域代表B∩C;5+6區(qū)域代表A∩C;1+2+5+6區(qū)域代表屬于A集合;3+2+5+4區(qū)域代表屬于B集合;4+5+6+7區(qū)域代表屬于C集合。
3、真題示例
【例3】【國(guó)考2010-47】某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中,準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有63人,準(zhǔn)備參加英語(yǔ)六級(jí)考試的有89人,準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人,三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人,準(zhǔn)備只選擇兩種考試都參加的有46人,不參加其中任何一種考試的都15人。問(wèn)接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人?( )
A.120 B.144 C.177 D.192
【答案】A
【解析】本題畫圖按中路突破原則,先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字24,再推其他部分?jǐn)?shù)字,得下圖:
根據(jù)每個(gè)區(qū)域含義應(yīng)用公式得到:
總數(shù)=各集合數(shù)之和-兩兩集合數(shù)之和+三集合公共數(shù)+三集合之外數(shù)
=63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15
=199-{(x+z+y)+24+24+24}+24+15
根據(jù)上術(shù)含義分析得到:x+z+y只屬于兩集合數(shù)之和,也就是該題所講的只選擇兩種考試都參加的人數(shù),所以x+z+y的值為46人;得本題答案為120.
【例4】對(duì)某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽,38人喜歡看戲劇,52人喜歡看電影,既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人,既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人,三種都喜歡看的有12人,則只喜歡看電影的有多少人( )
A.22人 B.28人 C.30人 D.36人
【答案】A
【解析】本題畫圖按中路突破原則,先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字12,再推其他部分?jǐn)?shù)字,得下圖:
根據(jù)各區(qū)域含義及應(yīng)用公式得到:
總數(shù)=各集合數(shù)之和-兩兩集合數(shù)之和+三集合公共數(shù)+三集合之外數(shù)
100=58+38+52-{18+16+(12+ x)}+12+0,因?yàn)樵擃}中,沒有三種都不喜歡的人,所以三集合之外數(shù)為0,解方程得到:x=14。52=x+12+4+Y=14+12+4+Y,得到Y=22人。